递推和递归

写在前面

还有一个月就要蓝桥杯省赛了,复习的时候顺便总结一下。题目题解主要参考《算法竞赛进阶指南》以及acwing

Problem1

描述:从1~n选任意个,输出全部选择方案

题解:每个数只有选和不选两种状态,通过dfs访问到 \(2^n-1\) 个选择方案。

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
vector<int> v;
void dfs(int x)
{
if(x == n + 1)
{
// sort(v.begin(),v.end());
for(int i = 0; i < v.size(); i ++)
{
if(i > 0) printf(" ");
printf("%d",v[i]);
}
printf("\n");
return;//这里一定要return
}
dfs(x + 1);

v.push_back(x);
dfs(x + 1);
v.pop_back();
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
dfs(1);
return 0;
}

Problem2

描述:输出 \(A_n^n\) 的全部方案

题解:全排列为n!个,就是把n个坑全部填满的方案数,注意回溯即可

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, vis[20];
vector<int> v;
void dfs(int dep)
{
if(dep == n + 1)
{
for(int i = 0; i < n; i ++)
{
printf("%d ", v[i]);
}
puts("");
}
for(int i = 1; i <= n; i ++)
{
if(vis[i]) continue;
vis[i] = 1;
v.push_back(i);
dfs(dep + 1);
v.pop_back();
vis[i] = 0;
}
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
dfs(1);
return 0;
}

Problem3

描述:输出 \(C_n^m\) 的所有方案

题解:是第一题的子集,只需要选取第一题解集中个数为m的即可,即在搜索过程中解的个数不等于且没有机会等于m时直接退出。

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, m;
vector<int> v;
void dfs(int x)
{
if(v.size() > m || v.size() + n - x + 1 < m) return;
if(x == n + 1)
{
for(int i = 0; i < v.size(); i ++)
{
if(i > 0) printf(" ");
printf("%d",v[i]);
}
printf("\n");
return;
}


v.push_back(x);
dfs(x + 1);
v.pop_back();

dfs(x + 1);
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n, &m);
dfs(1);
return 0;
}

Problem4 费解的开关

描述:https://www.acwing.com/problem/content/description/97/

题解:这道题我第一次做肯定做不出来由题意得出两个基础结论:1)对于任意操作序列,操作的顺序对最后结果无影响,2)5行5列,共 \(2^25\) 个状态,直接枚举会超时,故考虑枚举第一行的5个格子是否操作,共 \(2^5\) 种状态,对于每个状态,接下来操作第二行时操作必须使得第一行全亮,否则再往下第三行将无法影响到第一行,最终无法满足条件,以此类推,从第二行开始递推,一直到倒数第二行,操作完倒数第二行后,若最后一行有灭着的灯则无解。

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 6;

char g[N][N], bp[N][N];//bp用来备份初始状态,还原每次枚举的改变
int dx[5] = {-1, 0, 1, 0, 0}, dy[5] = {0, 1, 0, -1, 0};
void turn(int x, int y)
{
for(int i = 0; i < 5; i ++)
{
int a = x + dx[i], b = y + dy[i];
if(a < 0 || b < 0|| a >= 5 || b >= 5) continue;
g[a][b] ^= 1;
}
}
int main()
{
int t;
cin >> t;
while(t--)
{
for(int i = 0; i < 5; i ++) cin >> g[i];
int res = 10;
for(int op = 0; op < 32; op ++)
{
memcpy(bp, g, sizeof g);
int step = 0;
for(int i = 0; i < 5; i ++)
{
if(op >> i & 1)
{
step ++;
turn(0, i);
}
}
for(int i = 0; i < 4; i ++)
{
for(int j = 0; j < 5; j ++)
{
if(g[i][j] == '0')
{
step ++;
turn(i + 1, j);
}
}
}
bool flag = false;
for(int i = 0; i < 5; i ++)
{
if(g[4][i] == '0')
{
flag = true;
break;
}
}
if(!flag) res = min(res, step);
memcpy(g, bp, sizeof g);
}

if(res > 6) res = -1;
cout<<res<<endl;
}
}
----- 本文结束 感谢阅读 -----
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